doc/math/array.md

## array
## 1
### habr
- [Алгоритм моделирования многомерного массива данных, распределенных по нормальному закону](https://habr.com/ru/articles/145315/)
### excel
- https://www.excel-vba.ru/chto-umeet-excel/dinamicheskie-massivy-v-excel/ Начнем с того, что динамические массивы будут доступны пользователям следующих версий Excel:
  - 365 офис (по подписке)
  - офис 2021 (для MAC и для Windows)
### js
- https://selectel.ru/blog/array-methods-part-1/

## 2
### tuples_or_sets
- https://www.reddit.com/r/learnpython/comments/ve6fe5/why_use_tuples_or_sets_instead_of_lists/?tl=ru Список
Очень похож на кортеж в использовании, но очень отличается по концепции. Техническое объяснение состоит в том, что список - это изменяемая упорядоченная коллекция, то есть ее состояние может меняться, но порядок элементов гарантирован.
- https://informatics.msk.ru/mod/book/view.php?id=49881

## 3 AI
### array
В функции есть несколько массивов - как входящие данные и несколько массивов - как результат функции. Как записать математически?

Понял, вы хотите, чтобы математическая запись функции с несколькими массивами на входе и выходе была оформлена только с помощью `$` (инлайн) и `$$` (дисплей) — так формулы гарантированно корректно отображаются на GitHub (через MathJax). Ниже привожу варианты, используя только эти конструкции.

---

## 1. Математическая нотация 
В математике массивы обычно рассматриваются как элементы множеств 

### Вариант 1: Декартово произведение (дисплейная формула)

$$
f: A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k \;\longrightarrow\; B_1 \times B_2 \times \dots \times B_m
$$

### Вариант 2: Значение функции — кортеж (дисплейная формула)

$$
f(a_1, a_2, \dots, a_k) = (b_1, b_2, \dots, b_m)
$$

где $a_i \in A_i$, $b_j \in B_j$.

### Вариант 3: Векторная форма (если все массивы одного типа)

$$
f: A^k \to B^m,\qquad f(\mathbf{a}) = \mathbf{b}
$$

с $\mathbf{a} \in A^k$, $\mathbf{b} \in B^m$.

### Вариант 4: Теоретико-множественное определение (с использованием $\subseteq$)

$$
f \subseteq (A_1 \times \dots \times A_k) \times (B_1 \times \dots \times B_m)
$$

и для каждого входа существует ровно один выход.

---

## 2. Программирование (кратко, с акцентом на сигнатуры)

На GitHub в блоках кода формулы не нужны, поэтому просто приведу примеры сигнатур.

**Python (кортеж):**
```python
def process(arr1: list, arr2: list) -> tuple[list, list]:
    ...
```

**C (выходные параметры):**
```c
void process(int* in1, int* in2, int* out1, int* out2);
```

**Go (структура):**
```go
type Result struct { Out1 []int; Out2 []int }
func process(in1, in2 []int) Result
```

Если нужно именно математическое описание для GitHub — используйте приведённые выше формулы с `$` и `$$`, они будут отображаться корректно.

---

## 3. Замечания

- В математике часто стремятся объединить несколько выходных массивов в один (например, в виде матрицы, где столбцы — отдельные массивы), чтобы функция возвращала один объект.
- В программировании предпочтение отдаётся ясности: лучше явно указать типы и имена возвращаемых значений (через кортеж, объект или структуру), чем смешивать их в одном массиве.
- Если входные массивы имеют одинаковую структуру, их часто передают как один массив массивов (список списков).

## 4
Если вы хотите математически записать функцию, которая принимает два массива (`in1`, `in2`) и возвращает два массива (`out1`, `out2`), используя разделитель (например, `;`), то можно применить несколько подходов. В строгой математике функция обычно отображает входы в выходы, поэтому выходы не указываются в списке аргументов. Однако для наглядности или в неформальных текстах часто используют обозначения, где точка с запятой отделяет входные параметры от выходных. Ниже приведены наиболее близкие варианты, которые работают в математических текстах и на GitHub с использованием только `$` и `$$`.

---

### 1. Запись с разделителем в определении функции (нестрогая, но понятная)
Можно просто написать имя функции и перечислить входы и выходы через точку с запятой, пояснив смысл.

$$
F(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
$$

*Подразумевается, что `in1`, `in2` — аргументы, `out1`, `out2` — результаты.*

---

### 2. Запись как отношение (математически корректно)
Функцию можно рассматривать как отношение между входами и выходами. Тогда точка с запятой отделяет входные переменные от выходных.

$$
R(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
$$

где $R$ — отношение, связывающее входы с выходами. Если это отношение функционально по входам, то оно фактически задаёт функцию.

---

### 3. Использование кортежей и стрелки
Классический способ — показать отображение из декартова произведения множеств входов в декартово произведение множеств выходов. Разделитель `;` можно использовать внутри текста для пояснения.

$$
F: A_1 \times A_2 \;\longrightarrow\; B_1 \times B_2
$$

$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = (\text{out1}, \text{out2})
$$

*Точка с запятой может быть добавлена в словесном описании: «где in1, in2 — входные массивы; out1, out2 — выходные».*

---

### 4. Нотация, имитирующая программирование (с разделителем)
Если вы хотите в точности повторить стиль `fun(in1, in2 ; out1, out2)`, то в математическом тексте это можно оформить так:

$$
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2} \;;\; \text{out1}, \text{out2})
$$

или

$$
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
$$

с пояснением, что выходные параметры перечислены после точки с запятой.

---

### 5. Запись с использованием вертикальной черты (альтернатива)
Иногда для разделения входов и выходов используют вертикальную черту, но точка с запятой тоже встречается:

$$
F(\text{in1}, \text{in2} \mid \text{out1}, \text{out2})
$$

---

### Рекомендация для GitHub
Для гарантированного отображения используйте только `$` и `$$`. Например:

```markdown

$$ \text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2}) $$

```
Это будет выглядеть как одна формула, а точка с запятой будет просто символом разделения. Если нужна более строгая математическая форма, выберите вариант с отношением или со стрелкой.

---

### Итог
Наиболее близкие к вашему запросу варианты:
- **Неформальный:** $\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})$
- **Формальный (отношение):** $R(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})$
- **Классический:** $F: A_1 \times A_2 \to B_1 \times B_2$, $F(\text{in1}, \text{in2}) = (\text{out1}, \text{out2})$

## 5
Приведи вариант, когда используется упорядоченная коллекция, т.е. in1 имеет всегда первую позицию и отображается (при применении функции) в out 1. Тоже самое с in2 и out2. 

Отвечу по пунктам.

---

## 1. Чем отличается вариант 1 от варианта 2?

В предыдущем ответе я привёл два похожих варианта:

1. **Неформальная функция с разделителем**  
 
   $$
   \text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
   $$

   Это просто **обозначение**, принятое в некоторых инженерных или алгоритмических текстах: точка с запятой визуально отделяет входные переменные от выходных. Математически такая запись не является стандартной сигнатурой функции — это скорее мнемоническое соглашение.

2. **Отношение**  

   $$
   R(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
   $$

   Здесь $R$ — это **бинарное отношение** между кортежами входов и кортежами выходов. Если для каждого набора входов существует **ровно один** набор выходов, то такое отношение эквивалентно функции. Однако в математике отношение — более общее понятие (может допускать несколько выходов для одних входов). Запись с точкой с запятой в данном случае показывает, что переменные слева — это аргументы, справа — значения.

**Главное отличие**:
- В (1) мы просто **обозначаем функцию**, но не уточняем её природу.
- В (2) мы явно говорим, что имеем дело с **отношением**, что строже, но для детерминированной функции избыточно.

Если ваша функция детерминирована и всегда возвращает ровно два массива, то разница лишь в уровне строгости. На практике для описания алгоритмов чаще используют (1) как краткую запись.

---

## 2. Лучший вариант, когда `in1` отображается в `out1`, а `in2` — в `out2` (упорядоченная коллекция)

Если подразумевается, что функция работает **покомпонентно** (первый вход соответствует первому выходу, второй — второму) и при этом сохраняется структура, то лучше использовать **явное указание компонент отображения**. Есть несколько способов сделать это математически корректно и наглядно.

### Способ А: Прямое произведение функций
Записать, что функция $F$ является парой независимых функций $F_1$ и $F_2$:

$$
F: A_1 \times A_2 \;\longrightarrow\; B_1 \times B_2
$$

$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( f_1(\text{in1}),\; f_2(\text{in2}) \bigr)
$$

где $f_1: A_1 \to B_1$, $f_2: A_2 \to B_2$.

Это самый математически строгий вариант. Он чётко показывает, что первый выход зависит только от первого входа, а второй — только от второго.

### Способ Б: Запись с индексами
Если функция не обязательно распадается на независимые подфункции, но результат сохраняет порядок (первый выход соответствует первому входу, но может зависеть от обоих входов), то можно явно указать:

$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = (\text{out1}, \text{out2})
$$

с дополнительным условием:  
*«Здесь out1 — результат, ассоциированный с in1; out2 — результат, ассоциированный с in2»*.

В тексте это можно подчеркнуть словами или введя обозначение $F = (F_1, F_2)$.

### Способ В: Использование кортежей и проекций
Можно определить функцию через проекции:

$$
\text{out1} = \pi_1\bigl( F(\text{in1}, \text{in2}) \bigr), \quad
\text{out2} = \pi_2\bigl( F(\text{in1}, \text{in2}) \bigr)
$$

где $\pi_i$ — проекция на $i$-ю компоненту. Это показывает, что выходы упорядочены.

---

## 3. Примеры для наглядности

### Пример 1 (независимые преобразования)
Пусть $in1$ — массив чисел, $in2$ — массив строк. Функция сортирует массив чисел и переводит строки в верхний регистр.  
Математическая запись:

$$
\text{process}: \mathbb{R}^n \times \Sigma^* \;\longrightarrow\; \mathbb{R}^n \times \Sigma^*
$$

$$
\text{process}(X, S) = \bigl( \text{sort}(X),\; \text{toUpper}(S) \bigr)
$$

Здесь $out1$ зависит только от $in1$, $out2$ — только от $in2$.

### Пример 2 (связанные преобразования)
Пусть $in1$ и $in2$ — два массива одинаковой длины, функция возвращает их сумму и разность.  
Запись с сохранением порядка:

$$
F(X, Y) = (X + Y,\; X - Y)
$$

Здесь $out1$ соответствует паре $(in1, in2)$, $out2$ тоже соответствует паре, но чётко указано, что первый выход — сумма, второй — разность.

---

## 4. Рекомендуемый вариант для вашего случая

Если вы хотите подчеркнуть, что **первый вход отображается в первый выход, а второй вход — во второй выход** (и при этом результаты могут зависеть от обоих входов, но ассоциация сохраняется), то лучше всего использовать **явное определение компонент**:

$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( \text{out1}(\text{in1}, \text{in2}),\; \text{out2}(\text{in1}, \text{in2}) \bigr)
$$

Если же связь **покомпонентная и независимая** (out1 зависит только от in1, out2 — только от in2), то более строго:

$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( f_1(\text{in1}),\; f_2(\text{in2}) \bigr)
$$

Для краткости в тексте можно также использовать разделитель `;`, но обязательно пояснить, что он отделяет входы от выходов, а порядок сохраняется:

$$
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2}) \quad\text{с условием, что out1 соответствует in1, out2 — in2}.
$$

---

## 5. Итоговая рекомендация (для GitHub, только $ и $$)

На GitHub используйте дисплейные формулы для наглядности:

```markdown

$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( \text{out1}(\text{in1}, \text{in2}),\; \text{out2}(\text{in1}, \text{in2}) \bigr)
$$

```

Или если требуется именно запись с точкой с запятой:

```markdown

$$
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
$$

*где out1 — результат, соответствующий in1, out2 — результат, соответствующий in2.*
```

Оба варианта корректно отображаются и не требуют сложных пакетов.

## 6 tensor
В тензорной алгебре массивы интерпретируются как тензоры определённого ранга. Если функция преобразует два входных тензора в два выходных, причём первый вход соответствует первому выходу, а второй — второму, это можно выразить через **прямую сумму отображений** или через **тензорные операторы**, действующие на пару тензоров. Ниже приведены основные варианты записи в зависимости от того, являются ли преобразования независимыми или связанными.

---

## 1. Независимые линейные преобразования (прямое произведение)

Если $\text{in}_1$ и $\text{out}_1$ — тензоры одного типа, а $\text{in}_2$ и $\text{out}_2$ — другого, и преобразования линейны, то можно записать как **прямую сумму (блочно-диагональный) оператор**:

Пусть 
$\mathsf{T}_1: \mathcal{T}^{(p,q)} \to \mathcal{T}^{(r,s)}$ — оператор, преобразующий $\text{in}_1$ в $\text{out}_1$    
$\mathsf{T}_2: \mathcal{U}^{(p',q')} \to \mathcal{U}^{(r',s')}$ — оператор, преобразующий $\text{in}_2$ в $\text{out}_2$  

Тогда комбинированное отображение:

$$
\mathsf{T} = \mathsf{T}_1 \oplus \mathsf{T}_2 : \mathcal{T}^{(p,q)} \times \mathcal{U}^{(p',q')} \longrightarrow \mathcal{T}^{(r,s)} \times \mathcal{U}^{(r',s')}
$$

$$
\mathsf{T}(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( \mathsf{T}_1(\text{in}_1),\; \mathsf{T}_2(\text{in}_2) \bigr).
$$

Здесь $\oplus$ обозначает **прямую сумму операторов** (блочную диагональ).

---

## 2. Общий (возможно, нелинейный) независимый случай

Если преобразования могут быть нелинейными, но сохраняется независимость, используется **декартово произведение отображений**:

$$
F = f_1 \times f_2, \quad F(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( f_1(\text{in}_1),\, f_2(\text{in}_2) \bigr).
$$

В тензорной нотации это можно записать как:

$$
(\text{out}_1)^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots} = \mathcal{F}_1^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots}(\text{in}_1),\qquad
(\text{out}_2)^{\mu\ldots}_{\nu\ldots} = \mathcal{F}_2^{\mu\ldots}_{\nu\ldots}(\text{in}_2).
$$

---

## 3. Связанное преобразование (выход зависит от обоих входов, но сохраняется ассоциация)

Здесь первый выход может зависеть от обоих входов, но по смыслу он «привязан» к первому входу. Один из способов — ввести **тензорный оператор** $\mathcal{M}$, который действует на пару входов и выдаёт пару выходов, а затем спроецировать:

Пусть $\mathcal{M}$ — оператор (линейный или нелинейный), отображающий $\text{in}_1 \otimes \text{in}_2$ (или пару) в $\text{out}_1 \otimes \text{out}_2$  
Тогда:

$$
(\text{out}_1, \text{out}_2) = \mathcal{M}(\text{in}_1, \text{in}_2) \quad\text{или}\quad
\text{out}_1 \otimes \text{out}_2 = \mathcal{M}(\text{in}_1 \otimes \text{in}_2).
$$

Чтобы явно выделить первый и второй выход, используют **проекторы** $\pi_1$ и $\pi_2$:

$$
\text{out}_1 = \pi_1\!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1, \text{in}_2) \right),\qquad
\text{out}_2 = \pi_2\!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1, \text{in}_2) \right).
$$

В компонентной записи (например, для тензоров второго ранга):

$$
(\text{out}_1)^{ij} = M^{ij}_{\;klpq} (\text{in}_1)^{kl} (\text{in}_2)^{pq} + \dots
$$

$$
(\text{out}_2)^{rs} = N^{rs}_{\;klpq} (\text{in}_1)^{kl} (\text{in}_2)^{pq} + \dots
$$

где $M$ и $N$ — тензоры операторов, задающие преобразование.

---

## 4. Использование прямого произведения пространств и тензорного оператора

Можно рассматривать объединённое пространство входов $V = V_1 \oplus V_2$ и выходов $W = W_1 \oplus W_2$. Тогда любое линейное отображение $L: V \to W$ можно представить в виде блочной матрицы:

$$
L = \begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix},
$$

где:
- $A: V_1 \to W_1$ — отображение $\text{in}_1$ в $\text{out}_1$,
- $B: V_2 \to W_1$ — влияние $\text{in}_2$ на $\text{out}_1$,
- $C: V_1 \to W_2$ — влияние $\text{in}_1$ на $\text{out}_2$,
- $D: V_2 \to W_2$ — отображение $\text{in}_2$ в $\text{out}_2$.

Если требуется, чтобы первый выход ассоциировался с первым входом (но мог зависеть от второго), то $A$ и $B$ ненулевые, $C$ — нулевой (чтобы второй выход не зависел от первого). Если же оба выхода могут зависеть от обоих входов, то ненулевыми могут быть все блоки. Запись:
```
$$
\begin{pmatrix}
\text{out}_1 \\
\text{out}_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\text{in}_1 \\
\text{in}_2
\end{pmatrix}.
$$
```
В нелинейном случае вместо матрицы — нелинейный оператор.

---

## 5. Тензорная сеть / диаграммная нотация

В тензорной алгебре часто используют графические диаграммы (тензорные сети). Для пары входов и пары выходов можно изобразить:

- Если преобразования независимы: две отдельные диаграммы (два «чёрных ящика»), каждая соединяет свой вход со своим выходом.
- Если преобразования связаны: входные тензоры подводятся к общему узлу (оператору), который выдаёт два выходных тензора.

Формульно это можно записать как:

$$
\text{out}_1 = \mathcal{O}_1(\text{in}_1, \text{in}_2),\qquad
\text{out}_2 = \mathcal{O}_2(\text{in}_1, \text{in}_2),
$$

где $\mathcal{O}_1$ и $\mathcal{O}_2$ — некоторые тензорные операторы.

---

## 6. Примеры конкретных операторов

### Пример А (свёртка с ядром)
Пусть $\text{in}_1$ — матрица $X_{ij}$, $\text{out}_1$ — матрица $Y_{kl}$, а $\text{in}_2$ — вектор $u_m$, $\text{out}_2$ — скаляр $v$. Связанное преобразование:

$$
Y_{kl} = \sum_{i,j,m} K^{(1)}_{klijm} X_{ij} u_m,\qquad
v = \sum_{i,j,m} K^{(2)}_{mij} X_{ij} u_m,
$$

где $K^{(1)}$ и $K^{(2)}$ — тензоры ядер.

### Пример Б (прямое произведение как частный случай)
Если $C=0$ и $B=0$ в блочной матрице, то:

$$
\text{out}_1 = A(\text{in}_1),\qquad
\text{out}_2 = D(\text{in}_2),
$$

что возвращает нас к независимому случаю.

---

## 7. Итоговая рекомендация для записи на GitHub (только $ и $$)

Для строгой тензорной записи с сохранением ассоциации «первый вход → первый выход» можно использовать:

```markdown

$$
\begin{pmatrix} \text{out}_1 \\ \text{out}_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \mathcal{A} & \mathcal{B} \\ \mathcal{C} & \mathcal{D} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \text{in}_1 \\ \text{in}_2 \end{pmatrix},
$$

```
где $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ — тензорные операторы. Если $\mathcal{C}=0$, то второй выход не зависит от первого входа.

Для нелинейного случая:

```markdown

$$
(\text{out}_1)^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots} = \mathcal{F}_1^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots}(\text{in}_1, \text{in}_2),\qquad
(\text{out}_2)^{\mu\ldots}_{\nu\ldots} = \mathcal{F}_2^{\mu\ldots}_{\nu\ldots}(\text{in}_1, \text{in}_2).
$$

```

Если требуется подчеркнуть независимость:

```markdown

$$
F = f_1 \times f_2,\qquad
F(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( f_1(\text{in}_1),\, f_2(\text{in}_2) \bigr).
$$

```

Все варианты корректно отображаются на GitHub и используют только стандартную математическую нотацию.

## 7
после "В тензорной нотации это можно записать как:"
пишет Double subscripts: use braces to clarify

Вы правы, в LaTeX (и на GitHub через MathJax) конструкция вида `\text{out}_1^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots}` может вызвать ошибку «Double subscripts», если интерпретатор пытается одновременно обработать нижний индекс `_1` и последующие нижние индексы. Нужно явно группировать индексы с помощью фигурных скобок.

Ниже привожу исправленные варианты записи в тензорной алгебре, которые корректно работают на GitHub. Использую только `$` и `$$`.

---

## 1. Независимые преобразования (прямое произведение)

$$
F = f_1 \times f_2,\qquad F(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( f_1(\text{in}_1),\, f_2(\text{in}_2) \bigr).
$$

В компонентной форме (тензорная нотация с правильной группировкой индексов):

$$
(\text{out}_1)^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s} = \mathcal{F}_1^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}\bigl( (\text{in}_1)^{\mu_1\ldots\mu_p}_{\nu_1\ldots\nu_q} \bigr),
$$

$$
(\text{out}_2)^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u} = \mathcal{F}_2^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u}\bigl( (\text{in}_2)^{\xi_1\ldots\xi_a}_{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr).
$$

Здесь каждый оператор $\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}_2$ действует только на свой вход.

---

## 2. Связанное преобразование (выходы зависят от обоих входов)

Общая форма:

$$
(\text{out}_1)^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s} = \mathcal{O}_1^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}\bigl( (\text{in}_1)^{\mu_1\ldots\mu_p}_{\nu_1\ldots\nu_q},\; (\text{in}_2)^{\xi_1\ldots\xi_a}_{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr),
$$

$$
(\text{out}_2)^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u} = \mathcal{O}_2^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u}\bigl( (\text{in}_1)^{\mu_1\ldots\mu_p}_{\nu_1\ldots\nu_q},\; (\text{in}_2)^{\xi_1\ldots\xi_a}_{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr).
$$

---

## 3. Линейное преобразование в виде блочной матрицы (тензорная версия)

Если преобразование линейно и пространства имеют тензорную структуру, можно записать в виде свёртки с тензором четвёртого ранга (для каждой пары). Например, для простых векторов (ранг 1):

$$
(\text{out}_1)^i = \sum_{j} A^i_{\,j} (\text{in}_1)^j + \sum_{k} B^i_{\,k} (\text{in}_2)^k,
$$

$$
(\text{out}_2)^\ell = \sum_{m} C^\ell_{\,m} (\text{in}_1)^m + \sum_{n} D^\ell_{\,n} (\text{in}_2)^n.
$$

Здесь $A$, $B$, $C$, $D$ — матрицы (тензоры второго ранга), задающие отображение.

В более компактной блочной форме:
```
$$
\begin{pmatrix}
(\text{out}_1)^i \\[2pt]
(\text{out}_2)^\ell
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A^i_{\,j} & B^i_{\,k} \\[2pt]
C^\ell_{\,m} & D^\ell_{\,n}
\end{pmatrix}
\ast
\begin{pmatrix}
(\text{in}_1)^j \\[2pt]
(\text{in}_2)^k
\end{pmatrix},
$$
```
где $\ast$ означает свёртку по соответствующим индексам.

---

## 4. Тензорная сеть (диаграммная нотация текстом)

Если требуется только описать структуру без конкретных индексов, можно использовать символы:

$$
\text{out}_1 = \mathcal{M}_1 \bigl( \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 \bigr),\qquad
\text{out}_2 = \mathcal{M}_2 \bigl( \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 \bigr),
$$

где $\mathcal{M}_1$ и $\mathcal{M}_2$ — тензорные операторы, возможно, получаемые проекцией из общего оператора $\mathcal{M}$:

$$
\mathcal{M}: \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 \longrightarrow \text{out}_1 \otimes \text{out}_2,
$$

$$
\text{out}_1 = \pi_1\!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1 \otimes \text{in}_2) \right),\quad
\text{out}_2 = \pi_2\!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1 \otimes \text{in}_2) \right).
$$

---

## 5. Почему важно использовать фигурные скобки

В LaTeX нижний индекс (или верхний) относится к предыдущему «атомарному» символу. Если вы пишете `\text{out}_1^{\alpha}` — это нормально. Но если после `_1` идёт ещё один нижний индекс, например `\text{out}_1^{\alpha}_{\beta}`, интерпретатор может воспринять это как попытку поставить два нижних индекса к одному символу, что и вызывает ошибку. Правильно:

- Группировать всё, что относится к индексам: `\text{out}_1^{\alpha}_{\beta}` → `{\text{out}_1}^{\alpha}_{\beta}` или `\text{out}_1^{\alpha}{}_{\beta}` (если нужно смещение).  
- Либо использовать `\text{out}_{1}^{\alpha\beta}` для нескольких верхних индексов.

Для тензорных записей с несколькими индексами удобнее задать один символ для тензора и затем перечислить все индексы в одной группе:

```latex
{\text{out}_1}^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}
```

Или, если тензор имеет фиксированное имя, просто:

```latex
T^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}
```

---

## 6. Пример полностью корректной записи для GitHub

```markdown

$$
{\text{out}_1}^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s} = 
\mathcal{F}_1^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}
\bigl( {\text{in}_1}^{\mu_1\ldots\mu_p}_{\nu_1\ldots\nu_q} \bigr),
\qquad
{\text{out}_2}^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u} = 
\mathcal{F}_2^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u}
\bigl( {\text{in}_2}^{\xi_1\ldots\xi_a}_{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr).
$$

```

Все индексы сгруппированы, двойных подстрочников нет, формула корректно отображается.

---

Если вам нужен самый простой вариант, сохраняющий идею «первый вход → первый выход, второй вход → второй выход», рекомендую использовать блочную матричную запись (п. 3) или прямое произведение отображений (п. 1). Оба варианта легко читаются и не вызывают проблем с индексами.