34 KiB
array
1
habr
excel
- https://www.excel-vba.ru/chto-umeet-excel/dinamicheskie-massivy-v-excel/ Начнем с того, что динамические массивы будут доступны пользователям следующих версий Excel:
- 365 офис (по подписке)
- офис 2021 (для MAC и для Windows)
js
2
tuples_or_sets
- https://www.reddit.com/r/learnpython/comments/ve6fe5/why_use_tuples_or_sets_instead_of_lists/?tl=ru Список Очень похож на кортеж в использовании, но очень отличается по концепции. Техническое объяснение состоит в том, что список - это изменяемая упорядоченная коллекция, то есть ее состояние может меняться, но порядок элементов гарантирован.
- https://informatics.msk.ru/mod/book/view.php?id=49881
3 AI
array
В функции есть несколько массивов - как входящие данные и несколько массивов - как результат функции. Как записать математически?
Понял, вы хотите, чтобы математическая запись функции с несколькими массивами на входе и выходе была оформлена только с помощью $ (инлайн) и $$ (дисплей) — так формулы гарантированно корректно отображаются на GitHub (через MathJax). Ниже привожу варианты, используя только эти конструкции.
1. Математическая нотация
В математике массивы обычно рассматриваются как элементы множеств
Вариант 1: Декартово произведение (дисплейная формула)
f: A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k ;\longrightarrow; B_1 \times B_2 \times \dots \times B_m
Вариант 2: Значение функции — кортеж (дисплейная формула)
f(a_1, a_2, \dots, a_k) = (b_1, b_2, \dots, b_m)
где a_i \in A_i, b_j \in B_j.
Вариант 3: Векторная форма (если все массивы одного типа)
f: A^k \to B^m,\qquad f(\mathbf{a}) = \mathbf{b}
с \mathbf{a} \in A^k, \mathbf{b} \in B^m.
Вариант 4: Теоретико-множественное определение (с использованием \subseteq)
f \subseteq (A_1 \times \dots \times A_k) \times (B_1 \times \dots \times B_m)
и для каждого входа существует ровно один выход.
2. Программирование (кратко, с акцентом на сигнатуры)
На GitHub в блоках кода формулы не нужны, поэтому просто приведу примеры сигнатур.
Python (кортеж):
def process(arr1: list, arr2: list) -> tuple[list, list]:
...
C (выходные параметры):
void process(int* in1, int* in2, int* out1, int* out2);
Go (структура):
type Result struct { Out1 []int; Out2 []int }
func process(in1, in2 []int) Result
Если нужно именно математическое описание для GitHub — используйте приведённые выше формулы с $ и $$, они будут отображаться корректно.
3. Замечания
- В математике часто стремятся объединить несколько выходных массивов в один (например, в виде матрицы, где столбцы — отдельные массивы), чтобы функция возвращала один объект.
- В программировании предпочтение отдаётся ясности: лучше явно указать типы и имена возвращаемых значений (через кортеж, объект или структуру), чем смешивать их в одном массиве.
- Если входные массивы имеют одинаковую структуру, их часто передают как один массив массивов (список списков).
4
Если вы хотите математически записать функцию, которая принимает два массива (in1, in2) и возвращает два массива (out1, out2), используя разделитель (например, ;), то можно применить несколько подходов. В строгой математике функция обычно отображает входы в выходы, поэтому выходы не указываются в списке аргументов. Однако для наглядности или в неформальных текстах часто используют обозначения, где точка с запятой отделяет входные параметры от выходных. Ниже приведены наиболее близкие варианты, которые работают в математических текстах и на GitHub с использованием только $ и $$.
1. Запись с разделителем в определении функции (нестрогая, но понятная)
Можно просто написать имя функции и перечислить входы и выходы через точку с запятой, пояснив смысл.
F(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
Подразумевается, что in1, in2 — аргументы, out1, out2 — результаты.
2. Запись как отношение (математически корректно)
Функцию можно рассматривать как отношение между входами и выходами. Тогда точка с запятой отделяет входные переменные от выходных.
R(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
где R — отношение, связывающее входы с выходами. Если это отношение функционально по входам, то оно фактически задаёт функцию.
3. Использование кортежей и стрелки
Классический способ — показать отображение из декартова произведения множеств входов в декартово произведение множеств выходов. Разделитель ; можно использовать внутри текста для пояснения.
F: A_1 \times A_2 ;\longrightarrow; B_1 \times B_2
F(\text{in1}, \text{in2}) = (\text{out1}, \text{out2})
Точка с запятой может быть добавлена в словесном описании: «где in1, in2 — входные массивы; out1, out2 — выходные».
4. Нотация, имитирующая программирование (с разделителем)
Если вы хотите в точности повторить стиль fun(in1, in2 ; out1, out2), то в математическом тексте это можно оформить так:
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2} ;;; \text{out1}, \text{out2})
или
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
с пояснением, что выходные параметры перечислены после точки с запятой.
5. Запись с использованием вертикальной черты (альтернатива)
Иногда для разделения входов и выходов используют вертикальную черту, но точка с запятой тоже встречается:
F(\text{in1}, \text{in2} \mid \text{out1}, \text{out2})
Рекомендация для GitHub
Для гарантированного отображения используйте только $ и $$. Например:
$$ \text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2}) $$
Это будет выглядеть как одна формула, а точка с запятой будет просто символом разделения. Если нужна более строгая математическая форма, выберите вариант с отношением или со стрелкой.
Итог
Наиболее близкие к вашему запросу варианты:
- Неформальный:
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2}) - Формальный (отношение):
R(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2}) - Классический:
F: A_1 \times A_2 \to B_1 \times B_2,F(\text{in1}, \text{in2}) = (\text{out1}, \text{out2})
5
Приведи вариант, когда используется упорядоченная коллекция, т.е. in1 имеет всегда первую позицию и отображается (при применении функции) в out 1. Тоже самое с in2 и out2.
Отвечу по пунктам.
1. Чем отличается вариант 1 от варианта 2?
В предыдущем ответе я привёл два похожих варианта:
-
Неформальная функция с разделителем
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})Это просто обозначение, принятое в некоторых инженерных или алгоритмических текстах: точка с запятой визуально отделяет входные переменные от выходных. Математически такая запись не является стандартной сигнатурой функции — это скорее мнемоническое соглашение.
-
Отношение
R(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})Здесь
R— это бинарное отношение между кортежами входов и кортежами выходов. Если для каждого набора входов существует ровно один набор выходов, то такое отношение эквивалентно функции. Однако в математике отношение — более общее понятие (может допускать несколько выходов для одних входов). Запись с точкой с запятой в данном случае показывает, что переменные слева — это аргументы, справа — значения.
Главное отличие:
- В (1) мы просто обозначаем функцию, но не уточняем её природу.
- В (2) мы явно говорим, что имеем дело с отношением, что строже, но для детерминированной функции избыточно.
Если ваша функция детерминирована и всегда возвращает ровно два массива, то разница лишь в уровне строгости. На практике для описания алгоритмов чаще используют (1) как краткую запись.
2. Лучший вариант, когда in1 отображается в out1, а in2 — в out2 (упорядоченная коллекция)
Если подразумевается, что функция работает покомпонентно (первый вход соответствует первому выходу, второй — второму) и при этом сохраняется структура, то лучше использовать явное указание компонент отображения. Есть несколько способов сделать это математически корректно и наглядно.
Способ А: Прямое произведение функций
Записать, что функция F является парой независимых функций F_1 и F_2:
F: A_1 \times A_2 ;\longrightarrow; B_1 \times B_2
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( f_1(\text{in1}),; f_2(\text{in2}) \bigr)
где f_1: A_1 \to B_1, f_2: A_2 \to B_2.
Это самый математически строгий вариант. Он чётко показывает, что первый выход зависит только от первого входа, а второй — только от второго.
Способ Б: Запись с индексами
Если функция не обязательно распадается на независимые подфункции, но результат сохраняет порядок (первый выход соответствует первому входу, но может зависеть от обоих входов), то можно явно указать:
F(\text{in1}, \text{in2}) = (\text{out1}, \text{out2})
с дополнительным условием:
«Здесь out1 — результат, ассоциированный с in1; out2 — результат, ассоциированный с in2».
В тексте это можно подчеркнуть словами или введя обозначение F = (F_1, F_2).
Способ В: Использование кортежей и проекций
Можно определить функцию через проекции:
\text{out1} = \pi_1\bigl( F(\text{in1}, \text{in2}) \bigr), \quad
\text{out2} = \pi_2\bigl( F(\text{in1}, \text{in2}) \bigr)
где \pi_i — проекция на $i$-ю компоненту. Это показывает, что выходы упорядочены.
3. Примеры для наглядности
Пример 1 (независимые преобразования)
Пусть in1 — массив чисел, in2 — массив строк. Функция сортирует массив чисел и переводит строки в верхний регистр.
Математическая запись:
\text{process}: \mathbb{R}^n \times \Sigma^* ;\longrightarrow; \mathbb{R}^n \times \Sigma^*
\text{process}(X, S) = \bigl( \text{sort}(X),; \text{toUpper}(S) \bigr)
Здесь out1 зависит только от in1, out2 — только от in2.
Пример 2 (связанные преобразования)
Пусть in1 и in2 — два массива одинаковой длины, функция возвращает их сумму и разность.
Запись с сохранением порядка:
F(X, Y) = (X + Y,; X - Y)
Здесь out1 соответствует паре (in1, in2), out2 тоже соответствует паре, но чётко указано, что первый выход — сумма, второй — разность.
4. Рекомендуемый вариант для вашего случая
Если вы хотите подчеркнуть, что первый вход отображается в первый выход, а второй вход — во второй выход (и при этом результаты могут зависеть от обоих входов, но ассоциация сохраняется), то лучше всего использовать явное определение компонент:
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( \text{out1}(\text{in1}, \text{in2}),; \text{out2}(\text{in1}, \text{in2}) \bigr)
Если же связь покомпонентная и независимая (out1 зависит только от in1, out2 — только от in2), то более строго:
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( f_1(\text{in1}),; f_2(\text{in2}) \bigr)
Для краткости в тексте можно также использовать разделитель ;, но обязательно пояснить, что он отделяет входы от выходов, а порядок сохраняется:
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2}) \quad\text{с условием, что out1 соответствует in1, out2 — in2}.
5. Итоговая рекомендация (для GitHub, только $ и
На GitHub используйте дисплейные формулы для наглядности:
$$
F(\text{in1}, \text{in2}) = \bigl( \text{out1}(\text{in1}, \text{in2}),\; \text{out2}(\text{in1}, \text{in2}) \bigr)
$$
Или если требуется именно запись с точкой с запятой:
$$
\text{fun}(\text{in1}, \text{in2}; \text{out1}, \text{out2})
$$
*где out1 — результат, соответствующий in1, out2 — результат, соответствующий in2.*
Оба варианта корректно отображаются и не требуют сложных пакетов.
6 tensor
В тензорной алгебре массивы интерпретируются как тензоры определённого ранга. Если функция преобразует два входных тензора в два выходных, причём первый вход соответствует первому выходу, а второй — второму, это можно выразить через прямую сумму отображений или через тензорные операторы, действующие на пару тензоров. Ниже приведены основные варианты записи в зависимости от того, являются ли преобразования независимыми или связанными.
1. Независимые линейные преобразования (прямое произведение)
Если \text{in}_1 и \text{out}_1 — тензоры одного типа, а \text{in}_2 и \text{out}_2 — другого, и преобразования линейны, то можно записать как прямую сумму (блочно-диагональный) оператор:
Пусть
\mathsf{T}_1: \mathcal{T}^{(p,q)} \to \mathcal{T}^{(r,s)} — оператор, преобразующий \text{in}_1 в \text{out}_1
\mathsf{T}_2: \mathcal{U}^{(p',q')} \to \mathcal{U}^{(r',s')} — оператор, преобразующий \text{in}_2 в \text{out}_2
Тогда комбинированное отображение:
\mathsf{T} = \mathsf{T}_1 \oplus \mathsf{T}_2 : \mathcal{T}^{(p,q)} \times \mathcal{U}^{(p',q')} \longrightarrow \mathcal{T}^{(r,s)} \times \mathcal{U}^{(r',s')}
\mathsf{T}(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( \mathsf{T}_1(\text{in}_1),; \mathsf{T}_2(\text{in}_2) \bigr).
Здесь \oplus обозначает прямую сумму операторов (блочную диагональ).
2. Общий (возможно, нелинейный) независимый случай
Если преобразования могут быть нелинейными, но сохраняется независимость, используется декартово произведение отображений:
F = f_1 \times f_2, \quad F(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( f_1(\text{in}_1),, f_2(\text{in}_2) \bigr).
В тензорной нотации это можно записать как:
(\text{out}1)^{\alpha\ldots}{\beta\ldots} = \mathcal{F}1^{\alpha\ldots}{\beta\ldots}(\text{in}_1),\qquad
(\text{out}2)^{\mu\ldots}{\nu\ldots} = \mathcal{F}2^{\mu\ldots}{\nu\ldots}(\text{in}_2).
3. Связанное преобразование (выход зависит от обоих входов, но сохраняется ассоциация)
Здесь первый выход может зависеть от обоих входов, но по смыслу он «привязан» к первому входу. Один из способов — ввести тензорный оператор \mathcal{M}, который действует на пару входов и выдаёт пару выходов, а затем спроецировать:
Пусть \mathcal{M} — оператор (линейный или нелинейный), отображающий \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 (или пару) в \text{out}_1 \otimes \text{out}_2
Тогда:
(\text{out}_1, \text{out}_2) = \mathcal{M}(\text{in}_1, \text{in}_2) \quad\text{или}\quad
\text{out}_1 \otimes \text{out}_2 = \mathcal{M}(\text{in}_1 \otimes \text{in}_2).
Чтобы явно выделить первый и второй выход, используют проекторы \pi_1 и \pi_2:
\text{out}_1 = \pi_1!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1, \text{in}_2) \right),\qquad
\text{out}_2 = \pi_2!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1, \text{in}_2) \right).
В компонентной записи (например, для тензоров второго ранга):
(\text{out}1)^{ij} = M^{ij}{;klpq} (\text{in}_1)^{kl} (\text{in}_2)^{pq} + \dots
(\text{out}2)^{rs} = N^{rs}{;klpq} (\text{in}_1)^{kl} (\text{in}_2)^{pq} + \dots
где M и N — тензоры операторов, задающие преобразование.
4. Использование прямого произведения пространств и тензорного оператора
Можно рассматривать объединённое пространство входов V = V_1 \oplus V_2 и выходов W = W_1 \oplus W_2. Тогда любое линейное отображение L: V \to W можно представить в виде блочной матрицы:
L = \begin{pmatrix}
A & B \
C & D
\end{pmatrix},
где:
A: V_1 \to W_1— отображение\text{in}_1в\text{out}_1,B: V_2 \to W_1— влияние\text{in}_2на\text{out}_1,C: V_1 \to W_2— влияние\text{in}_1на\text{out}_2,D: V_2 \to W_2— отображение\text{in}_2в\text{out}_2.
Если требуется, чтобы первый выход ассоциировался с первым входом (но мог зависеть от второго), то A и B ненулевые, C — нулевой (чтобы второй выход не зависел от первого). Если же оба выхода могут зависеть от обоих входов, то ненулевыми могут быть все блоки. Запись:
$$
\begin{pmatrix}
\text{out}_1 \\
\text{out}_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\text{in}_1 \\
\text{in}_2
\end{pmatrix}.
$$
В нелинейном случае вместо матрицы — нелинейный оператор.
5. Тензорная сеть / диаграммная нотация
В тензорной алгебре часто используют графические диаграммы (тензорные сети). Для пары входов и пары выходов можно изобразить:
- Если преобразования независимы: две отдельные диаграммы (два «чёрных ящика»), каждая соединяет свой вход со своим выходом.
- Если преобразования связаны: входные тензоры подводятся к общему узлу (оператору), который выдаёт два выходных тензора.
Формульно это можно записать как:
\text{out}_1 = \mathcal{O}_1(\text{in}_1, \text{in}_2),\qquad
\text{out}_2 = \mathcal{O}_2(\text{in}_1, \text{in}_2),
где \mathcal{O}_1 и \mathcal{O}_2 — некоторые тензорные операторы.
6. Примеры конкретных операторов
Пример А (свёртка с ядром)
Пусть \text{in}_1 — матрица X_{ij}, \text{out}_1 — матрица Y_{kl}, а \text{in}_2 — вектор u_m, \text{out}_2 — скаляр v. Связанное преобразование:
Y_{kl} = \sum_{i,j,m} K^{(1)}{klijm} X{ij} u_m,\qquad
v = \sum_{i,j,m} K^{(2)}{mij} X{ij} u_m,
где K^{(1)} и K^{(2)} — тензоры ядер.
Пример Б (прямое произведение как частный случай)
Если C=0 и B=0 в блочной матрице, то:
\text{out}_1 = A(\text{in}_1),\qquad
\text{out}_2 = D(\text{in}_2),
что возвращает нас к независимому случаю.
7. Итоговая рекомендация для записи на GitHub (только $ и
Для строгой тензорной записи с сохранением ассоциации «первый вход → первый выход» можно использовать:
$$
\begin{pmatrix} \text{out}_1 \\ \text{out}_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \mathcal{A} & \mathcal{B} \\ \mathcal{C} & \mathcal{D} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \text{in}_1 \\ \text{in}_2 \end{pmatrix},
$$
где \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D} — тензорные операторы. Если \mathcal{C}=0, то второй выход не зависит от первого входа.
Для нелинейного случая:
$$
(\text{out}_1)^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots} = \mathcal{F}_1^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots}(\text{in}_1, \text{in}_2),\qquad
(\text{out}_2)^{\mu\ldots}_{\nu\ldots} = \mathcal{F}_2^{\mu\ldots}_{\nu\ldots}(\text{in}_1, \text{in}_2).
$$
Если требуется подчеркнуть независимость:
$$
F = f_1 \times f_2,\qquad
F(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( f_1(\text{in}_1),\, f_2(\text{in}_2) \bigr).
$$
Все варианты корректно отображаются на GitHub и используют только стандартную математическую нотацию.
7
после "В тензорной нотации это можно записать как:" пишет Double subscripts: use braces to clarify
Вы правы, в LaTeX (и на GitHub через MathJax) конструкция вида \text{out}_1^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots} может вызвать ошибку «Double subscripts», если интерпретатор пытается одновременно обработать нижний индекс _1 и последующие нижние индексы. Нужно явно группировать индексы с помощью фигурных скобок.
Ниже привожу исправленные варианты записи в тензорной алгебре, которые корректно работают на GitHub. Использую только $ и $$.
1. Независимые преобразования (прямое произведение)
F = f_1 \times f_2,\qquad F(\text{in}_1, \text{in}_2) = \bigl( f_1(\text{in}_1),, f_2(\text{in}_2) \bigr).
В компонентной форме (тензорная нотация с правильной группировкой индексов):
(\text{out}1)^{\alpha_1\ldots\alpha_r}{\beta_1\ldots\beta_s} = \mathcal{F}1^{\alpha_1\ldots\alpha_r}{\beta_1\ldots\beta_s}\bigl( (\text{in}1)^{\mu_1\ldots\mu_p}{\nu_1\ldots\nu_q} \bigr),
(\text{out}2)^{\gamma_1\ldots\gamma_t}{\delta_1\ldots\delta_u} = \mathcal{F}2^{\gamma_1\ldots\gamma_t}{\delta_1\ldots\delta_u}\bigl( (\text{in}2)^{\xi_1\ldots\xi_a}{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr).
Здесь каждый оператор \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 действует только на свой вход.
2. Связанное преобразование (выходы зависят от обоих входов)
Общая форма:
(\text{out}1)^{\alpha_1\ldots\alpha_r}{\beta_1\ldots\beta_s} = \mathcal{O}1^{\alpha_1\ldots\alpha_r}{\beta_1\ldots\beta_s}\bigl( (\text{in}1)^{\mu_1\ldots\mu_p}{\nu_1\ldots\nu_q},; (\text{in}2)^{\xi_1\ldots\xi_a}{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr),
(\text{out}2)^{\gamma_1\ldots\gamma_t}{\delta_1\ldots\delta_u} = \mathcal{O}2^{\gamma_1\ldots\gamma_t}{\delta_1\ldots\delta_u}\bigl( (\text{in}1)^{\mu_1\ldots\mu_p}{\nu_1\ldots\nu_q},; (\text{in}2)^{\xi_1\ldots\xi_a}{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr).
3. Линейное преобразование в виде блочной матрицы (тензорная версия)
Если преобразование линейно и пространства имеют тензорную структуру, можно записать в виде свёртки с тензором четвёртого ранга (для каждой пары). Например, для простых векторов (ранг 1):
(\text{out}1)^i = \sum{j} A^i_{,j} (\text{in}1)^j + \sum{k} B^i_{,k} (\text{in}_2)^k,
(\text{out}2)^\ell = \sum{m} C^\ell_{,m} (\text{in}1)^m + \sum{n} D^\ell_{,n} (\text{in}_2)^n.
Здесь A, B, C, D — матрицы (тензоры второго ранга), задающие отображение.
В более компактной блочной форме:
$$
\begin{pmatrix}
(\text{out}_1)^i \\[2pt]
(\text{out}_2)^\ell
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A^i_{\,j} & B^i_{\,k} \\[2pt]
C^\ell_{\,m} & D^\ell_{\,n}
\end{pmatrix}
\ast
\begin{pmatrix}
(\text{in}_1)^j \\[2pt]
(\text{in}_2)^k
\end{pmatrix},
$$
где \ast означает свёртку по соответствующим индексам.
4. Тензорная сеть (диаграммная нотация текстом)
Если требуется только описать структуру без конкретных индексов, можно использовать символы:
\text{out}_1 = \mathcal{M}_1 \bigl( \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 \bigr),\qquad
\text{out}_2 = \mathcal{M}_2 \bigl( \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 \bigr),
где \mathcal{M}_1 и \mathcal{M}_2 — тензорные операторы, возможно, получаемые проекцией из общего оператора \mathcal{M}:
\mathcal{M}: \text{in}_1 \otimes \text{in}_2 \longrightarrow \text{out}_1 \otimes \text{out}_2,
\text{out}_1 = \pi_1!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1 \otimes \text{in}_2) \right),\quad
\text{out}_2 = \pi_2!\left( \mathcal{M}(\text{in}_1 \otimes \text{in}_2) \right).
5. Почему важно использовать фигурные скобки
В LaTeX нижний индекс (или верхний) относится к предыдущему «атомарному» символу. Если вы пишете \text{out}_1^{\alpha} — это нормально. Но если после _1 идёт ещё один нижний индекс, например \text{out}_1^{\alpha}_{\beta}, интерпретатор может воспринять это как попытку поставить два нижних индекса к одному символу, что и вызывает ошибку. Правильно:
- Группировать всё, что относится к индексам:
\text{out}_1^{\alpha}_{\beta}→{\text{out}_1}^{\alpha}_{\beta}или\text{out}_1^{\alpha}{}_{\beta}(если нужно смещение). - Либо использовать
\text{out}_{1}^{\alpha\beta}для нескольких верхних индексов.
Для тензорных записей с несколькими индексами удобнее задать один символ для тензора и затем перечислить все индексы в одной группе:
{\text{out}_1}^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}
Или, если тензор имеет фиксированное имя, просто:
T^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}
6. Пример полностью корректной записи для GitHub
$$
{\text{out}_1}^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s} =
\mathcal{F}_1^{\alpha_1\ldots\alpha_r}_{\beta_1\ldots\beta_s}
\bigl( {\text{in}_1}^{\mu_1\ldots\mu_p}_{\nu_1\ldots\nu_q} \bigr),
\qquad
{\text{out}_2}^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u} =
\mathcal{F}_2^{\gamma_1\ldots\gamma_t}_{\delta_1\ldots\delta_u}
\bigl( {\text{in}_2}^{\xi_1\ldots\xi_a}_{\eta_1\ldots\eta_b} \bigr).
$$
Все индексы сгруппированы, двойных подстрочников нет, формула корректно отображается.
Если вам нужен самый простой вариант, сохраняющий идею «первый вход → первый выход, второй вход → второй выход», рекомендую использовать блочную матричную запись (п. 3) или прямое произведение отображений (п. 1). Оба варианта легко читаются и не вызывают проблем с индексами.