9.7 KiB
array_set
Рассмотрим формализацию динамической системы, где состояние в момент t задаётся множеством (или кортежем) компонент \text{in}_1, \text{in}_2, \dots, \text{in}_n, а состояние в момент t+1 — компонентами \text{out}_1, \text{out}_2, \dots, \text{out}_n. Каждая выходная компонента \text{out}_i может зависеть от всех входных компонент, но сохраняет «номер» для идентификации. Ниже представлены возможные варианты формализма в разных областях математики.
1. Теоретико-множественный подход
Пусть I_i — множество возможных значений для $i$-й входной компоненты, O_i — для $i$-й выходной. Общее состояние — декартово произведение:
\mathcal{I} = I_1 \times I_2 \times \dots \times I_n,\qquad
\mathcal{O} = O_1 \times O_2 \times \dots \times O_n.
Функция перехода (оператор) — это отображение:
F: \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{O},
F(\text{in}_1, \dots, \text{in}_n) = (\text{out}_1, \dots, \text{out}_n).
Для каждой компоненты можно определить проекцию F_i = \pi_i \circ F, тогда
\text{out}_i = F_i(\text{in}_1, \dots, \text{in}_n), \quad i = 1,\dots,n.
Пример (множественная запись):
\forall i;; \text{out}_i = f_i(\text{in}_1, \dots, \text{in}_n),
где f_i: \mathcal{I} \to O_i — произвольные функции.
2. Тензорная алгебра (линейный случай)
Если все I_i и O_i — векторные пространства (например, \mathbb{R}^{d_i}) и отображение линейно, то F — линейный оператор. Компонентная запись с использованием тензоров:
\text{out}i^{\alpha_i} = \sum{j=1}^{n} \sum_{\beta_j} T_{i,j}^{\alpha_i \beta_j} , \text{in}_j^{\beta_j},
где T_{ij} — тензор (матрица) ранга 2, связывающий $j$-й вход с $i$-м выходом. Если зависимость нелинейна, можно использовать тензоры более высокой валентности:
\text{out}i^{\alpha_i} = \sum{j_1,\dots,j_k} \sum_{\beta_{j_1}\dots\beta_{j_k}} T_{i,j_1\dots j_k}^{\alpha_i \beta_{j_1}\dots\beta_{j_k}} ;\text{in}{j_1}^{\beta{j_1}} \cdots \text{in}{j_k}^{\beta{j_k}} + \dots
Блочная матричная форма (для линейного случая):
\begin{pmatrix}
T_{11} & T_{12} & \dots & T_{1n} \
T_{21} & T_{22} & \dots & T_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
T_{n1} & T_{n2} & \dots & T_{nn}
\end{pmatrix}
\ast
\begin{pmatrix}
\text{in}_1 \
\text{in}_2 \
\vdots \
\text{in}_n
\end{pmatrix}.
3. Категорный подход (теория категорий)
В категории множеств (или любой другой декартово замкнутой категории) состояние — это объект I = I_1 \times \dots \times I_n (произведение), выход — объект O = O_1 \times \dots \times O_n. Переход — морфизм F: I \to O. Для каждой компоненты i имеем проекции \pi_i^O: O \to O_i, и композиция F_i = \pi_i^O \circ F даёт морфизм I \to O_i.
Если нужно подчеркнуть, что F_i «соответствует» входной компоненте i, можно ввести диаграмму:
\begin{array}{ccccc}
I & \xrightarrow{F} & O \
\downarrow^{\pi_i^I} & & \downarrow^{\pi_i^O} \
I_i & \xrightarrow{F_i} & O_i
\end{array}
Но в общем случае F_i может зависеть от всех I_j, поэтому коммутативность этой диаграммы не требуется — F_i не факторизуется через \pi_i^I.
4. Функционально-аналитический подход
Если компоненты — функции (например, поля на пространстве) и преобразование — оператор, можно записать:
u_i(t+1, x) = \mathcal{F}_i\bigl u_1(t,\cdot), u_2(t,\cdot), \dots, u_n(t,\cdot) \bigr,
где \mathcal{F}_i — нелинейный оператор, действующий на все компоненты и, возможно, имеющий локальную зависимость.
5. Подход с использованием теории динамических систем
Состояние системы — вектор \mathbf{x}(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t)), где x_i(t) \in X_i. Эволюция задаётся отображением:
\mathbf{x}(t+1) = \Phi\bigl( \mathbf{x}(t) \bigr),
или покомпонентно:
x_i(t+1) = \phi_i\bigl( x_1(t), \dots, x_n(t) \bigr),\quad i=1,\dots,n.
Это частный случай теоретико-множественного подхода.
6. Агентный / компонентный формализм
Каждая компонента i интерпретируется как «агент», который на основе всех входных данных (включая другие компоненты) вычисляет своё новое состояние. В формальной нотации:
\text{out}_i = \text{Agent}_i(\text{in}_1, \dots, \text{in}_n).
Можно ввести понятие общей среды: \text{out}_i = \text{update}_i(\text{in}_1, \dots, \text{in}_n), где \text{update}_i — функция обновления агента i.
7. Символьная / алгебраическая спецификация
Можно использовать нотацию $\lambda$-исчисления или алгебры процессов:
\text{out}_i = (\lambda (x_1,\dots,x_n).; e_i(x_1,\dots,x_n)),(\text{in}_1,\dots,\text{in}_n),
где e_i — выражение, описывающее зависимость.
8. Теоретико-категорный вариант с использованием копределов
Если нужно подчеркнуть, что \text{out}_i — это результат применения некоторого функтора к \text{in}_i и «окружению», можно ввести понятие параметризованного морфизма:
Для каждого i определён морфизм F_i: I_1 \times \dots \times I_n \to O_i, а F = \langle F_1, \dots, F_n \rangle — это стрелка в произведение.
9. Смешанный формализм: теория множеств + алгебраические структуры
Если компоненты имеют дополнительную структуру (например, группы, кольца), можно записать:
\text{out}i = \Phi_i\left( \sum{j=1}^n \alpha_{ij} \cdot \text{in}_j \right)
где \Phi_i — нелинейная активация (как в нейронных сетях).
10. Тензорная сеть (диаграммное представление)
В квантовой физике и машинном обучении используют диаграммы тензорных сетей. Для нашего случая можно изобразить:
- Входные тензоры
\text{in}_1,\dots,\text{in}_nподводятся к узлу, который представляет собой тензорTранга2n(входные и выходные индексы). Выходные индексы группируются в\text{out}_1,\dots,\text{out}_n.
Формульно:
\text{out}1^{\alpha_1} \dots \text{out}n^{\alpha_n} = \sum{\beta_1,\dots,\beta_n} T^{\alpha_1\dots\alpha_n}{\beta_1\dots\beta_n} ; \text{in}_1^{\beta_1} \dots \text{in}_n^{\beta_n},
где T — тензор, описывающий преобразование.
Итоговая таблица вариантов
| Подход | Формальная запись | Комментарий |
|---|---|---|
| Теория множеств | F: I_1\times\dots\times I_n \to O_1\times\dots\times O_n, \text{out}_i = \pi_i(F(\text{in}_1,\dots,\text{in}_n)) |
Базовый |
| Тензорная алгебра | \text{out}_i^{\alpha_i} = \sum_{j,\beta_j} T_{ij}^{\alpha_i\beta_j} \text{in}_j^{\beta_j} (линейный) |
Для линейных отображений |
| Категории | F: I \to O в декартовой категории |
Абстракция |
| Динамические системы | x_i(t+1) = \phi_i(x_1(t),\dots,x_n(t)) |
Классическая форма |
| Агентная модель | \text{out}_i = \text{Agent}_i(\text{in}_1,\dots,\text{in}_n) |
Компьютерная аналогия |
| Тензорная сеть | \text{out}_1\dots\text{out}_n = T \cdot (\text{in}_1\dots\text{in}_n) |
Компактная запись |
Все варианты совместимы с отображением на GitHub при использовании только $ и $$.