Update array_set_v1.md

math/array_set_v1.md

@@ -4,7 +4,8 @@ Eсть множество IN, описывающее состояние на в
 Покажи все возможные варианты формализма, включая формализмы теории множеств, тензорной алгебры и других. 
 
 
-Рассмотрим формализацию динамической системы, где состояние в момент $t$ задаётся множеством (или кортежем) компонент $\text{in}_1, \text{in}_2, \dots, \text{in}_n$, а состояние в момент $t+1$ — компонентами $\text{out}_1, \text{out}_2, \dots, \text{out}_n$. Каждая выходная компонента $\text{out}_i$ может зависеть от всех входных компонент, но сохраняет «номер» для идентификации. Ниже представлены возможные варианты формализма в разных областях математики.
+Рассмотрим формализацию динамической системы, где состояние в момент $t$ задаётся множеством (или кортежем) компонент  
+$\text{in}_1, \text{in}_2, \dots, \text{in}_n$ , а состояние в момент $t+1$ — компонентами $\text{out}_1, \text{out}_2, \dots, \text{out}_n$ . Каждая выходная компонента $\text{out}_i$ может зависеть от всех входных компонент, но сохраняет «номер» для идентификации. Ниже представлены возможные варианты формализма в разных областях математики.
 
 ---
 
@@ -23,6 +24,7 @@ $$
 $$
 F: \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{O},
 $$
+
 $$
 F(\text{in}_1, \dots, \text{in}_n) = (\text{out}_1, \dots, \text{out}_n).
 $$
@@ -49,6 +51,7 @@ $$
 $$
 \text{out}_i^{\alpha_i} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{\beta_j} T_{i\,j}^{\alpha_i \beta_j} \, \text{in}_j^{\beta_j},
 $$
+
 где $T_{ij}$ — тензор (матрица) ранга $2$, связывающий $j$-й вход с $i$-м выходом. Если зависимость нелинейна, можно использовать тензоры более высокой валентности:
 
 $$
@@ -107,6 +110,7 @@ $$
 $$
 u_i(t+1, x) = \mathcal{F}_i\bigl[ u_1(t,\cdot), u_2(t,\cdot), \dots, u_n(t,\cdot) \bigr](x),
 $$
+
 где $\mathcal{F}_i$ — нелинейный оператор, действующий на все компоненты и, возможно, имеющий локальную зависимость.
 
 ---
@@ -118,7 +122,9 @@ $$
 $$
 \mathbf{x}(t+1) = \Phi\bigl( \mathbf{x}(t) \bigr),
 $$
+
 или покомпонентно:
+
 $$
 x_i(t+1) = \phi_i\bigl( x_1(t), \dots, x_n(t) \bigr),\quad i=1,\dots,n.
 $$
@@ -146,6 +152,7 @@ $$
 $$
 \text{out}_i = (\lambda (x_1,\dots,x_n).\; e_i(x_1,\dots,x_n))\,(\text{in}_1,\dots,\text{in}_n),
 $$
+
 где $e_i$ — выражение, описывающее зависимость.
 
 ---
@@ -165,6 +172,7 @@ $$
 $$
 \text{out}_i = \Phi_i\left( \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \cdot \text{in}_j \right)
 $$
+
 где $\Phi_i$ — нелинейная активация (как в нейронных сетях).
 
 ---
@@ -180,6 +188,7 @@ $$
 $$
 \text{out}_1^{\alpha_1} \dots \text{out}_n^{\alpha_n} = \sum_{\beta_1,\dots,\beta_n} T^{\alpha_1\dots\alpha_n}_{\beta_1\dots\beta_n} \; \text{in}_1^{\beta_1} \dots \text{in}_n^{\beta_n},
 $$
+
 где $T$ — тензор, описывающий преобразование.
 
 ---